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Grupos en topología.

In Topología on diciembre 11, 2011 by Tanius

Uno de los objetivos de la topología algebraica es “trasladar” la pregunta de cuándo dos espacios topológicos son homeomorfos, a preguntarse cuándo dos grupos son isomorfos.

Dado un espacio topológico (X,\tau ), se define al conjunto \mathcal{H} (X,\tau )= \left\{{f:(X,\tau )\to (X,\tau ) \;|\; \textsf{f es homeomorfismo}}\right\}.

Observe que el conjunto anterior es un grupo con la composición.

Veremos que una condición necesaria para que dos espacios topológicos sean homeomorfos, es que sus grupos correspondientes como hemos definido sean isomorfos.

Afirmación: Si (X,\tau ) es homeomorfo a (Y,\tau '), entonces \mathcal{H} (X,\tau ) es isomorfo a \mathcal{H} (Y,\tau ').

Demostración: Sea h:(X,\tau )\to (Y,\tau ') un homeomorfismo.

Definamos F: \mathcal{H} (X,\tau ) \to \mathcal{H} (Y,\tau ') mediante F(f)=h \circ{} f\circ{h^{-1}} para toda f\in \mathcal{H} (X,\tau ).
Observe primero que F(f) en efecto es una función con dominio Y y contradominio Y. Como la composición de homeomorfismos resulta ser un homeomorfismo, se tiene que F(f) es efectivamente un elemento de \mathcal{H} (Y,\tau ').

Sea ahora f,g\in\mathcal{H} (X, \tau ). Entonces si F(f)=F(g) se tiene que h\circ f \circ h^{-1} = h\circ g \circ h^{-1}, de donde se sigue que f=g. Así F es inyectiva.

Por otro lado, sea g\in\mathcal{H} (Y,\tau ') . Sea f= h^{-1}\circ g\circ h. Note que f\in\mathcal{H} (X,\tau ) y además F(f)=h\circ h^{-1} \circ g\circ h \circ h^{-1}=g. Por lo tanto F es sobreyectiva.

Así que F es biyectiva.

Para terminar, sean f,g\in\mathcal{H} (X,\tau ).

Entonces F(f\circ g)=h\circ f\circ g\circ h^{-1}= h\circ f \circ h^{-1} \circ h\circ g\circ h^{-1}=F(f)\circ F(g). Por lo tanto F es un homomorfismo de grupos, luego F es un isomorfismo.

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Demostración del Teorema de Euler con teoría de grupos.

In Teoría de grupos, Teoría de números on diciembre 8, 2011 by Tanius

En esta entrada se ofrece la demostración de un resultado básico, pero importante de la teoría de números, a saber, el teorema de Euler (algunos lo identifican también como el pequeño teorema de Fermat):

Teorema de Euler: Si a y n son primos relativos con n>1 entonces n divide a a^{\phi (n)}-1.
(Aquí \phi (n) es la función de Euler, es decir, \phi (n) representa el número de divisores positivos de n relativamente primos con n).

Para demostrar el teorema anterior, haremos uso de unos resultados básicos de la teoría de grupos.

En realidad, la base de que esta demostración resulte tan elegante es consecuencia del teorema de Lagrange que daremos por hecho:

Teorema de Lagrange: Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces la cardinalidad de H divide a la cardinalidad de G.
Recordemos la definición de un semigrupo:

Definición: Dado un conjunto no vacío G y una operación cerrada en G, decimos que G es un semigrupo si dicha operación es asociativa.

Demostraremos ahora los siguiente dos lemas:

Lema 1: Sea G un semigrupo finito con cancelación izquierda y derecha, es decir, que si a,x,y\in G y xa=ya entonces x=y y si ax=ay entonces x=y. Entonces G es un grupo.

Demostración del lema 1: Basta demostrar que G tiene neutro (por la derecha) y cada elemento tiene inverso (por la derecha).
Sea x\in G un elemento cualquiera de G, el cual existe por ser G no vacío.
Si el x que hemos escogido satisface que yx=y para todo y\in G, ya hemos terminado pues entonces x es el neutro de G.

Supongamos entonces que x no actúa como el neutro de G. Note que esto implica que x^2\neq x.

Considere el conjunto A=\left\{{x^n:n\in{\mathbb{N}}}\right\}=\left\{{x,x^2,...,x^n,...}\right\}\subseteq{G}. Si ocurriera que para toda n> 2 se tiene que x^n\neq x, el conjunto A sería infinito, pero G es finito.

De esta forma, existe n>2 tal que x^n=x. Es claro que el neutro debe ser x^{n-1}.
En efecto, sea y\in G, simplemente note que yx^{n-1}x=yx, cancelando obtenemos yx^{n-1}=y.

Así G tiene neutro. Llamémosle e a este elemento.

El hecho de que cada elemento de G tiene inverso se sigue de la construcción anterior. Sea h\in G. Si h=e ya terminamos. Si h^2=h se tiene que h es su propio inverso. Si no sucede ninguna de las opciones anteriores, existe n >2 tal que h^n=h=h\cdot e, cancelando, esto es lo mismo que h^{n-1}=e. Es decir, h\cdot h^{n-2}=e. Se sigue que h^{n-2} es el inverso de h.

Por lo tanto G es un grupo y terminamos la demostración del lema 1.

Recordemos que dado un grupo G y un elemento x\in G, se define el orden de x como el mínimo número natural n para el cual x^n=1. Denotaremos a este número como |x|.

Recordemos también que si x\in G con G un grupo, entonces x genera un subgrupo cíclico G  de cardinalidad |x|. De acuerdo al teorema de Lagrange, |x| dividirá a la cardinalidad de G si G es finito.

Lema 2: Sea G un grupo de cardinalidad n. Si x\in G entonces x^n=1.

Demostración del lema 2: Basta tener en cuenta que por el teorema de Lagrange, x^n=x^{|x|\cdot k} = 1 para algún número natural k.

Demostración del teorema de Euler: Si n\ge 2, definimos una relación en \mathbb{Z} mediante a\sim{b} si y sólo si n divide a a-b. Ésta es una relación de equivalencia. Por cada a\in \mathbb{Z}, denotamos por \overline{a} a su clase de equivalencia, y en este mismo contexto, definimos \mathbb{Z} _n= \left\{{\overline{a} : a\in \mathbb{Z}}\right\}.

Asimiso, si n\ge 2definimos la suma y multiplicación en \mathbb{Z} _n mediante \overline{a} + \overline{b}= \overline{a+b} y \overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab} para cualesquiera \overline{a} , \overline{b}\in \mathbb{Z} _n.

En general, si n\ge 2, no sucede que \mathbb{Z} _n sea un grupo con la multiplicación definida antes.

Consideremos el subconjunto A_n\subseteq{}\mathbb{Z} _n definido por

A_n=\left\{{\overline{a} \in \mathbb{Z} _n: (a,n)=1}\right\}

en donde (a,n) denota el máximo común divisor de los enteros a y n.

De la definición de A_n, se sigue que la cardinalidad de A_n es precisamente \phi (n) . Ya que, en principio en A_n están todos los  enteros a tales que 1\le a<n(a,n) = 1. Y si hay algún a tal que 1>a o bien a>n con (a,n)=1 , por el algoritmo de la división siempre podemos asegurar la existencia de un a' tal que n divida a a-a'1\le a' <n. Entonces a\sim a', es decir, \overline{a}=\overline{a'}.

Casi para terminar, demostraremos que A_n es un grupo (n\ge 2), con la multiplicación heredada por \mathbb{Z} _n.
Sean \overline{a} , \overline{b}\in A_n. Entonces (a,n)=(b,n)=1. Por un resultado básico de divisibilidad, se sigue que (ab,n)= 1. Por tanto \overline{a} \cdot \overline{b} \in{A_n}.

De la asociatividad de \mathbb{Z} con la multiplicación usual, se sigue inmediatamente que A_n es un semigrupo (además conmutativo).

Por tanto, basta ver que se satisfacen las hipótesis del lema 1. Demostraremos que A_n es un semigrupo con cancelación por la izquierda. De la conmutatividad se seguirá la cancelación por la derecha.
En efecto, sea, \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in A y supongamos que \overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a}\cdot \overline{c} . Esto es equivalente a que \overline{a(b-c)} = \overline{0}. Por cómo hemos definido la relación de equivalencia, se sigue que n divide a a(b-c). Siendo n primo relativo con a, se tendrá que n divide a b-c. Por lo tanto \overline{b-c}= \overline{0} y hemos terminado.

De acuerdo al lema 1, A_n es un grupo para todo n\ge 2.

Sea pues n\ge 2 y a cualquier entero primo relativo con n. Entonces \overline{a}\in A_n. Por el lema 2, se tiene que \overline{a}^{\phi (n)} = \overline{1}, de donde \overline{a^{\phi (n)} -1} = \overline{0}. Es decir, n divide a a^{\phi (n)} -1. Pero esto es precisamente la conclusión del teorema de Euler y hemos terminado.

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Espacios métricos.

In Análisis matemático on octubre 10, 2011 by Tanius

Teorema: Sea (X,d) un espacio métrico completo numerable. Entonces existe A\subseteq X denso y formado por puntos aislados.

Demostración: Definamos A=X\setminus X'. Claramente A está formado por puntos aislados de X.

Se afirma que A es denso.

Si X'=\emptyset, trivialmente se cumple la afirmación. Supongamos que X' es no vacío.

Supongamos ahora que A no fuera denso en X. Entonces existiría una bola abierta B(x,r) tal que B(x,r)\cap A=\emptyset. Es decir, B(x,r) está formada por puntos de acumulación de X. Note ahora que si y\in B(x.r), por ser y punto de acumulación de X, existirá una sucesión (y_n) convergente a y tal que y_n\in B(x,r) y y_n\neq y para todo n\in\mathbb{N}. Esto muestra que y es punto de aculación de B(x,r). Dicho de otra forma, B(x,r) está contenido en su propio conjunto derivado.

En consecuencia, \overline{B(x,r)} es un conjunto perfecto. Efectivamente, es claro que \overline{B(x,r)} es cerrado. Y por lo dicho anteriormente, cada punto de \overline{B(x,r)} es punto de acumulación del mismo \overline{B(x,r)}.

Pero un subconjunto perfecto de un espacio métrico completo no puede ser a lo más numerable. Esto por que siendo \overline{B(x,r)} cerrado, \overline{B(x,r)} es en sí mismo un espacio métrico completo con la métrica de subespacio. Por ser \overline{B(x,r)} denso en sí mismo, cada punto de \overline{B(x,r)} tiene interior vacío. Es decir, para cada y\in \overline{B(x,r)} se tiene que \left\{y\right\} es denso en ninguna parte en \overline{B(x,r)}.

Por ello, si \overline{B(x,r)} fuera a lo más numerable, éste sería unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte, contradiciendo el teorema de categoría de Baire.

Por ello, A debe ser denso en X.

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El exterior de una bola cerrada es un conjunto abierto.

In Análisis matemático on junio 19, 2011 by Tanius

En general, el complemento de un conjunto cerrado es abierto, así que trivialmente el exterior de una bola cerrada es un conjunto abierto. Pero en este apartado, se demostrará directamente este hecho.

Sea r>0 y definamos A=\left\{{x\in\mathbb{R} ^n: \left\|{x}\right\|>r}\right\}. Demostraremos que A es un conjunto abierto.

En efecto, sea x\in A. Entonces, por como está definido A, se tiene que \left\|{x}\right\| >r. Definamos entonces R= \left\|{x}\right\|-r. Note que R>0.

Afirmación: B(x,R)\subseteq{A}. Efectivamente. Sea y\in B(x,R) arbitrario. Entonces se tiene que

R= \left\|{x}\right\|-r> \left\|{x-y}\right\| \ge \left\|{x}\right\|- \left\|{y}\right\|

De aquí se sigue que \left\|{y}\right\|>r, así que y\in A. De esta manera, B(x,R)\subseteq{A}. Por tanto, A es un conjunto abierto.

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Demostración de la parte entera de un número real.

In Matemáticas on diciembre 29, 2010 by Tanius

Enunciado:

Dado x\in\mathbb{R} existe un único entero denotado [ x ] tal que [ x ]\le x< [ x ] +1.

Demostración. Sea x\in\mathbb{R} arbitrario. Consideremos el conjunto S=\left\{{n\in\mathbb{Z}:n\le x}\right\}. Es evidente por la propiedad arquimediana que S es no vacío, además es acotado superiormente por x. Sea s=\sup (S) . Por ser s supremo existe m\in S tal que s-1<m\le s.

Mostremos que en realidad m es cota superior de S. Si esto no fuera así tendríamos un n\in S tal que m<n\le s<m+1, lo cual es absurdo. En consecuencia m=s. Se sigue inmediatamente que m\le x<m+1.

Así pues m= [ x ].

Fuente: http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/01-reales.pdf

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Ironías de la vida.

In Matemáticas on diciembre 28, 2010 by Tanius

Recién terminé un semestre más en mi facultad de ciencias. Resulta que cursé la materia de Álgebra Lineal I, la cual no aprobé con 10 por unas tonterías. Un sujeto que siempre se sentaba al lago de mí sacó el 10 que yo quería. Recuerdo una vez que no podía yo resolver cierto problema acerca de una matriz. Nos pedían demostrar cierta propiedad para una matriz arbitraria de n\times m.

Me dijo lo siguiente: “Aplica inducción”.

Yo: ¿Aplicar inducción? ¿Sobre quién? (asumí que quería decir que fijara una variable).

Me respondió: Sobre n y sobre m. Haz el caso base para una matriz de n\times 1, suponlo cierto para una matriz de n\times m y pruébalo para una de (n+1)\times m.

Es increíble gente que desde luego no merece ni la calificación apruebe sus materias con dieces.

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Blog retomado.

In Matemáticas on diciembre 28, 2010 by Tanius

Hace como un año que cree el blog éste por diversión. Ahora lo retomaré de nuevo por diversión 😀