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Derivadas del seno y del coseno.

In Matemáticas on noviembre 9, 2009 by Tanius

Las derivadas del seno y del coseno son sumamente sencillas si se tienen en consideración ciertos hechos que deben haber sidos demostrados previamente.

Para empezar, es importante saber que \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{cost - 1}{t} = 0 y que \lim_{t \to 0} \frac{cost - 1}{t}. Además, es claro que \lim_{t \to 0} sent = 0

Es importante tener también en consideración ciertas identidades trigonométricas, como la conocida sen(x + y) = senxcosy + senycosx.

Así, siguiendo la definición de derivada, es decir, si \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} existe, entonces la función es derivable. En este caso f(x) = senx, para la derivada del seno.

Entonces, comenzamos la demostración.

Sea x \in \mathbb{R}. Tenemos que sen'x = \lim_{h \to 0} \frac{sen(x + h) - sen(x)}{h}.

Siguiendo la identidad anteriormente mencionada, esto es equivalente a sen'x = \lim_{h \to 0} \frac{senx \cdot cosh + senh \cdot cosx - sen(x)}{h}.

Conmutando, asociando y factorizando tenemos \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx (cosh - 1) + cosx \cdot senh}{h} = \lim_{h \to 0} sen x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{cosh - 1}{h} + \lim_{h \to 0} cosx \cdot \lim_{h \to 0} \frac{senh}{h} = senx \cdot 0 + cosx \cdot 1 = cosx

Y en conclusión, \forall x \in \mathbb{R} se tiene que sen'x = cosx.

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