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Demostración de la parte entera de un número real.

In Matemáticas on diciembre 29, 2010 by Tanius

Enunciado:

Dado x\in\mathbb{R} existe un único entero denotado [ x ] tal que [ x ]\le x< [ x ] +1.

Demostración. Sea x\in\mathbb{R} arbitrario. Consideremos el conjunto S=\left\{{n\in\mathbb{Z}:n\le x}\right\}. Es evidente por la propiedad arquimediana que S es no vacío, además es acotado superiormente por x. Sea s=\sup (S) . Por ser s supremo existe m\in S tal que s-1<m\le s.

Mostremos que en realidad m es cota superior de S. Si esto no fuera así tendríamos un n\in S tal que m<n\le s<m+1, lo cual es absurdo. En consecuencia m=s. Se sigue inmediatamente que m\le x<m+1.

Así pues m= [ x ].

Fuente: http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/01-reales.pdf

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