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El exterior de una bola cerrada es un conjunto abierto.

In Análisis matemático on junio 19, 2011 by Tanius

En general, el complemento de un conjunto cerrado es abierto, así que trivialmente el exterior de una bola cerrada es un conjunto abierto. Pero en este apartado, se demostrará directamente este hecho.

Sea r>0 y definamos A=\left\{{x\in\mathbb{R} ^n: \left\|{x}\right\|>r}\right\}. Demostraremos que A es un conjunto abierto.

En efecto, sea x\in A. Entonces, por como está definido A, se tiene que \left\|{x}\right\| >r. Definamos entonces R= \left\|{x}\right\|-r. Note que R>0.

Afirmación: B(x,R)\subseteq{A}. Efectivamente. Sea y\in B(x,R) arbitrario. Entonces se tiene que

R= \left\|{x}\right\|-r> \left\|{x-y}\right\| \ge \left\|{x}\right\|- \left\|{y}\right\|

De aquí se sigue que \left\|{y}\right\|>r, así que y\in A. De esta manera, B(x,R)\subseteq{A}. Por tanto, A es un conjunto abierto.

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