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Espacios métricos.

In Análisis matemático on octubre 10, 2011 by Tanius

Teorema: Sea (X,d) un espacio métrico completo numerable. Entonces existe A\subseteq X denso y formado por puntos aislados.

Demostración: Definamos A=X\setminus X'. Claramente A está formado por puntos aislados de X.

Se afirma que A es denso.

Si X'=\emptyset, trivialmente se cumple la afirmación. Supongamos que X' es no vacío.

Supongamos ahora que A no fuera denso en X. Entonces existiría una bola abierta B(x,r) tal que B(x,r)\cap A=\emptyset. Es decir, B(x,r) está formada por puntos de acumulación de X. Note ahora que si y\in B(x.r), por ser y punto de acumulación de X, existirá una sucesión (y_n) convergente a y tal que y_n\in B(x,r) y y_n\neq y para todo n\in\mathbb{N}. Esto muestra que y es punto de aculación de B(x,r). Dicho de otra forma, B(x,r) está contenido en su propio conjunto derivado.

En consecuencia, \overline{B(x,r)} es un conjunto perfecto. Efectivamente, es claro que \overline{B(x,r)} es cerrado. Y por lo dicho anteriormente, cada punto de \overline{B(x,r)} es punto de acumulación del mismo \overline{B(x,r)}.

Pero un subconjunto perfecto de un espacio métrico completo no puede ser a lo más numerable. Esto por que siendo \overline{B(x,r)} cerrado, \overline{B(x,r)} es en sí mismo un espacio métrico completo con la métrica de subespacio. Por ser \overline{B(x,r)} denso en sí mismo, cada punto de \overline{B(x,r)} tiene interior vacío. Es decir, para cada y\in \overline{B(x,r)} se tiene que \left\{y\right\} es denso en ninguna parte en \overline{B(x,r)}.

Por ello, si \overline{B(x,r)} fuera a lo más numerable, éste sería unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte, contradiciendo el teorema de categoría de Baire.

Por ello, A debe ser denso en X.

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