Archive for the ‘Análisis matemático’ Category

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Espacios métricos.

In Análisis matemático on octubre 10, 2011 por Tanius

Teorema: Sea (X,d) un espacio métrico completo numerable. Entonces existe A\subseteq X denso y formado por puntos aislados.

Demostración: Definamos A=X\setminus X'. Claramente A está formado por puntos aislados de X.

Se afirma que A es denso.

Si X'=\emptyset, trivialmente se cumple la afirmación. Supongamos que X' es no vacío.

Supongamos ahora que A no fuera denso en X. Entonces existiría una bola abierta B(x,r) tal que B(x,r)\cap A=\emptyset. Es decir, B(x,r) está formada por puntos de acumulación de X. Note ahora que si y\in B(x.r), por ser y punto de acumulación de X, existirá una sucesión (y_n) convergente a y tal que y_n\in B(x,r) y y_n\neq y para todo n\in\mathbb{N}. Esto muestra que y es punto de aculación de B(x,r). Dicho de otra forma, B(x,r) está contenido en su propio conjunto derivado.

En consecuencia, \overline{B(x,r)} es un conjunto perfecto. Efectivamente, es claro que \overline{B(x,r)} es cerrado. Y por lo dicho anteriormente, cada punto de \overline{B(x,r)} es punto de acumulación del mismo \overline{B(x,r)}.

Pero un subconjunto perfecto de un espacio métrico completo no puede ser a lo más numerable. Esto por que siendo \overline{B(x,r)} cerrado, \overline{B(x,r)} es en sí mismo un espacio métrico completo con la métrica de subespacio. Por ser \overline{B(x,r)} denso en sí mismo, cada punto de \overline{B(x,r)} tiene interior vacío. Es decir, para cada y\in \overline{B(x,r)} se tiene que \left\{y\right\} es denso en ninguna parte en \overline{B(x,r)}.

Por ello, si \overline{B(x,r)} fuera a lo más numerable, éste sería unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte, contradiciendo el teorema de categoría de Baire.

Por ello, A debe ser denso en X.

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El exterior de una bola cerrada es un conjunto abierto.

In Análisis matemático on junio 19, 2011 por Tanius

En general, el complemento de un conjunto cerrado es abierto, así que trivialmente el exterior de una bola cerrada es un conjunto abierto. Pero en este apartado, se demostrará directamente este hecho.

Sea r>0 y definamos A=\left\{{x\in\mathbb{R} ^n: \left\|{x}\right\|>r}\right\}. Demostraremos que A es un conjunto abierto.

En efecto, sea x\in A. Entonces, por como está definido A, se tiene que \left\|{x}\right\| >r. Definamos entonces R= \left\|{x}\right\|-r. Note que R>0.

Afirmación: B(x,R)\subseteq{A}. Efectivamente. Sea y\in B(x,R) arbitrario. Entonces se tiene que

R= \left\|{x}\right\|-r> \left\|{x-y}\right\| \ge \left\|{x}\right\|- \left\|{y}\right\|

De aquí se sigue que \left\|{y}\right\|>r, así que y\in A. De esta manera, B(x,R)\subseteq{A}. Por tanto, A es un conjunto abierto.