Archive for the ‘Matemáticas’ Category

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Demostración de la parte entera de un número real.

In Matemáticas on diciembre 29, 2010 por Tanius

Enunciado:

Dado x\in\mathbb{R} existe un único entero denotado [ x ] tal que [ x ]\le x< [ x ] +1.

Demostración. Sea x\in\mathbb{R} arbitrario. Consideremos el conjunto S=\left\{{n\in\mathbb{Z}:n\le x}\right\}. Es evidente por la propiedad arquimediana que S es no vacío, además es acotado superiormente por x. Sea s=\sup (S) . Por ser s supremo existe m\in S tal que s-1<m\le s.

Mostremos que en realidad m es cota superior de S. Si esto no fuera así tendríamos un n\in S tal que m<n\le s<m+1, lo cual es absurdo. En consecuencia m=s. Se sigue inmediatamente que m\le x<m+1.

Así pues m= [ x ].

Fuente: http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/01-reales.pdf

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Ironías de la vida.

In Matemáticas on diciembre 28, 2010 por Tanius

Recién terminé un semestre más en mi facultad de ciencias. Resulta que cursé la materia de Álgebra Lineal I, la cual no aprobé con 10 por unas tonterías. Un sujeto que siempre se sentaba al lago de mí sacó el 10 que yo quería. Recuerdo una vez que no podía yo resolver cierto problema acerca de una matriz. Nos pedían demostrar cierta propiedad para una matriz arbitraria de n\times m.

Me dijo lo siguiente: “Aplica inducción”.

Yo: ¿Aplicar inducción? ¿Sobre quién? (asumí que quería decir que fijara una variable).

Me respondió: Sobre n y sobre m. Haz el caso base para una matriz de n\times 1, suponlo cierto para una matriz de n\times m y pruébalo para una de (n+1)\times m.

Es increíble gente que desde luego no merece ni la calificación apruebe sus materias con dieces.

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Blog retomado.

In Matemáticas on diciembre 28, 2010 por Tanius

Hace como un año que cree el blog éste por diversión. Ahora lo retomaré de nuevo por diversión 😀

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Derivadas del seno y del coseno.

In Matemáticas on noviembre 9, 2009 por Tanius

Las derivadas del seno y del coseno son sumamente sencillas si se tienen en consideración ciertos hechos que deben haber sidos demostrados previamente.

Para empezar, es importante saber que \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{cost - 1}{t} = 0 y que \lim_{t \to 0} \frac{cost - 1}{t}. Además, es claro que \lim_{t \to 0} sent = 0

Es importante tener también en consideración ciertas identidades trigonométricas, como la conocida sen(x + y) = senxcosy + senycosx.

Así, siguiendo la definición de derivada, es decir, si \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} existe, entonces la función es derivable. En este caso f(x) = senx, para la derivada del seno.

Entonces, comenzamos la demostración.

Sea x \in \mathbb{R}. Tenemos que sen'x = \lim_{h \to 0} \frac{sen(x + h) - sen(x)}{h}.

Siguiendo la identidad anteriormente mencionada, esto es equivalente a sen'x = \lim_{h \to 0} \frac{senx \cdot cosh + senh \cdot cosx - sen(x)}{h}.

Conmutando, asociando y factorizando tenemos \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx (cosh - 1) + cosx \cdot senh}{h} = \lim_{h \to 0} sen x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{cosh - 1}{h} + \lim_{h \to 0} cosx \cdot \lim_{h \to 0} \frac{senh}{h} = senx \cdot 0 + cosx \cdot 1 = cosx

Y en conclusión, \forall x \in \mathbb{R} se tiene que sen'x = cosx.

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Axiomas de campo.

In Matemáticas on julio 4, 2009 por Tanius

C_1: Ley de la cerradura para la adición. \forall a,b \in \mathbb{R} se tiene que a + b \in \mathbb{R}

C_2:  Ley de la cerradura para el producto. \forall a,b \in \mathbb{R} se tiene que a \cdot b \in \mathbb{R}

C_3: Ley asociativa para la adición. \forall a,b,c \in \mathbb{R} se tiene que (a + b) + c = a + (b +c)

C_4: Ley asociativa para la multiplicación. \forall a,b,c \in \mathbb{R} se tiene que (ab) \cdot c = a \cdot (bc)

C_5: Ley de conmutatividad para la adición. \forall a,b \in \mathbb{R} se tiene que a + b = b + c

C_6: Ley de la conmutatividad para el producto. \forall a,b \in \mathbb{R} se tiene que a \cdot b = b \cdot a

C_7: Ley de distributividad. \forall a,b,c \in \mathbb{R} se tiene que a \cdot (b + c) = ab + ac

C_8: Existencia del neutro aditivo. Existe al menos un número, usualmente denotado por 0 tal que \forall a \in \mathbb{R} se tiene que a + 0 = 0 + a = a

C_9: Existencia del neutro multiplicativo. Existe al menos un número, usualmente denotado por 1 que tiene la propiedad que 1 \neq 0 y a \cdot 1 = 1 \cdot a = a

C_{10}: Existencia del inverso aditivo. Existe al menos un número a_1 tal que a + a_1 = 0

C_{11}: Existencia del inverso multiplicativo. Existe al menos un número b_1 tal que b \neq 0 y b \cdot b_1 = 1