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Grupos en topología.

In Topología on diciembre 11, 2011 por Tanius

Uno de los objetivos de la topología algebraica es “trasladar” la pregunta de cuándo dos espacios topológicos son homeomorfos, a preguntarse cuándo dos grupos son isomorfos.

Dado un espacio topológico (X,\tau ), se define al conjunto \mathcal{H} (X,\tau )= \left\{{f:(X,\tau )\to (X,\tau ) \;|\; \textsf{f es homeomorfismo}}\right\}.

Observe que el conjunto anterior es un grupo con la composición.

Veremos que una condición necesaria para que dos espacios topológicos sean homeomorfos, es que sus grupos correspondientes como hemos definido sean isomorfos.

Afirmación: Si (X,\tau ) es homeomorfo a (Y,\tau '), entonces \mathcal{H} (X,\tau ) es isomorfo a \mathcal{H} (Y,\tau ').

Demostración: Sea h:(X,\tau )\to (Y,\tau ') un homeomorfismo.

Definamos F: \mathcal{H} (X,\tau ) \to \mathcal{H} (Y,\tau ') mediante F(f)=h \circ{} f\circ{h^{-1}} para toda f\in \mathcal{H} (X,\tau ).
Observe primero que F(f) en efecto es una función con dominio Y y contradominio Y. Como la composición de homeomorfismos resulta ser un homeomorfismo, se tiene que F(f) es efectivamente un elemento de \mathcal{H} (Y,\tau ').

Sea ahora f,g\in\mathcal{H} (X, \tau ). Entonces si F(f)=F(g) se tiene que h\circ f \circ h^{-1} = h\circ g \circ h^{-1}, de donde se sigue que f=g. Así F es inyectiva.

Por otro lado, sea g\in\mathcal{H} (Y,\tau ') . Sea f= h^{-1}\circ g\circ h. Note que f\in\mathcal{H} (X,\tau ) y además F(f)=h\circ h^{-1} \circ g\circ h \circ h^{-1}=g. Por lo tanto F es sobreyectiva.

Así que F es biyectiva.

Para terminar, sean f,g\in\mathcal{H} (X,\tau ).

Entonces F(f\circ g)=h\circ f\circ g\circ h^{-1}= h\circ f \circ h^{-1} \circ h\circ g\circ h^{-1}=F(f)\circ F(g). Por lo tanto F es un homomorfismo de grupos, luego F es un isomorfismo.

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